Родился 6 февраля 1985 г. Когда Антон был ребёнком, его семья переехала на Украину, в город Харьков. Антон начал заниматься в клубе «Пешка» у супругов Юрия и Лидии Саханович, позднее с ним работал мастер Александр Вайсман.

Вскоре Коробов выиграл чемпионат Украины и чемпионат мира среди юношей. В 2001 году выигрывает юниорский чемпионат своей страны и становится международным мастером, а год спустя побеждает в мужском чемпионате Украины.
Спустя некоторое время Антон добавляет в свою коллекцию главную награду побочного турнира в Линаресе, ему присваивают титул гроссмейстера. В тот момент с рейтингом под 2600 украинский шахматист являлся одним из сильнейших молодых игроков в мире. В финале очередного чемпионата Украине он занимает второе место, проиграв в главном матче Андрею Волокитину.
Но за успехами последовали неудачи, после которых Коробов на некоторое время отошел от шахмат. Гроссмейстер оканчивает факультет иностранных языков университета имени Карамзина и зарабатывает на жизнь переводами книг в харьковских издательствах.
Фактически возвращение состоялось в 2008 году. Коробов делит второе место в Пардубице, а на следующий год выигрывает престижный опен с результатом 8 из 9. В составе команды «А Дан Дзо-ПГМБ» сначала второй призер, потом двукратный победитель командного чемпионата Украины. В 2010 году - бронзовый призер Еврокубка.
Победа в Бейруте, Абу-Даби, два вторых места в главном турнире «Аэрофлот-опен», новая победа в личном чемпионате Украины и триумф в первенстве Европы по блицу, – успехи украинского гроссмейстера шли по нарастающей. Его рейтинг превысил отметку 2700, и в 2013 году Антон Коробов стал настоящим открытием Кубка мира. Коробов последовательно обыграл таких гроссмейстеров, как Баадур Джобава, Даниил Дубов и Хикару Накамура, – лишь в четвертьфинале его смог остановить будущий победитель соревнования Владимир Крамник.
На волне успехов Антон, наконец, пробился в состав сборной Украины. Стал бронзовым чемпионатом мира 2013 года, выиграв при этом вторую доску. В 2015-м он триумфально завершил командный чемпионат России в составе нового суперклуба «Сибирь».
В 2016 году Антон Коробов выиграл турнир по классическим шахматам в Пойковском и по быстрым - на Корсике, завоевал серебряные медали Олимпиады в составе сборной Украины. В 2017 году вновь стал чемпионом России в составе "Сибири-Сириуса".
Призер чемпионатов Украины по решению композиции, являлся тренером Анны Ушениной в победном чемпионате мира и матче против Хоу Ифань.

Антон Коробов: «Выступление Анны – сложная тема. Меня больше её спортивного результата впечатлило творческое содержание. Например, партия с Надеждой Косинцевой. Любой, даже великий шахматист с радостью подписался бы под этой партией!»